Из истории возникновения и развития системы счисления

Следующим шагом в познании количественной стороны окружающего мира появилось умение первобытного человека выделять множество, эквивалентное множеству его рук. Постепенно, на основе длительного опыта, передаваемого из поколения в поколение, у людей выработалась отвлеченное представление об общей количественной мере множеств, содержащих по паре элементов в виде числа «два».

Стихийное объединение первобытных людей в коллективы и разделение труда между членами коллектива привело к необходимости в учете и распределении добычи по количеству рук, носов, по множеству пальцев руки, затем обеих рук и ног, по множеству зарубок на палке, по множеству узелков на верёвке и тому подобное. Сам процесс такой оценки сводился к установлению взаимно однозначного соответствия между элементами данного множества и элементами одного из известных множеств, например множества пальцев рук. Такой способ оценки численности множества существует и в настоящее время.

Трудно предположить, сколько времени и сил затратило человечество в целом на приобретение первых числовых представлений. Но можно утверждать, что в основе этих представлений лежит многовековой опыт познания «количественной меры» конечных множеств через установление однозначного соответствия их элементов элементам уже известных человеку множеств, среди которых главное место занимают множества рук, ног и пальцев на них. Это и привело к распространению среди народов пятеричной, десятичной и двадцатеричной систем счисления. Поэтому можно с уверенностью предположить такое логическое определение натурального природного числа, которое органически связано с понятием множества и процесса установления взаимно однозначного соответствия между элементами равносильных множеств.

Конечное множество делится на классы. Каждый класс этого конечного множества обладает общим свойством, присущим только этому классу, – это одинаковая количественная характеристика всех множеств данного класса, которую и называют натуральным числом. Например, множество, равносильное множеству рук человека, выражается числом «два» и образует класс двузначных множеств; множество, равносильное множеству пальцев одной руки, образует класс пятизначных множеств и выражается натуральным числом «пять» и т. п. Следовательно, каждому классу конечных множеств соответствует свое натуральное число, и обратно – каждому натуральному числу соответствует определенный класс равносильных конечных множеств.

Когда первобытные люди стали объединяться в большие коллективы, возникла необходимость совершенствования техники учета и распределения продуктов труда. Для этого появились новые эталоны – множества, в которых учитывалось возрастание численности. В конечном итоге в сознании людей сформировалась и закрепилась последовательность натуральных чисел.

В результате человечество получило новый, более совершенный метод оценки численности множеств последовательностью натуральных чисел – счёт предметов, в котором стало известным требование: из каждых двух неравных чисел меньшее предшествует большему, а большее следует за меньшим. Возникло упорядоченное множество.

С развитием общественной практики стала возрастать необходимость внесения в последовательность натуральных чисел новых чисел. Каждому новому числу надо было давать особое название, удобное для запоминания. Поэтому каждый народ должен был научиться называть все встречающиеся в его практике натуральные числа с помощью немногих слов. Сначала люди считали парами, пятками, десятками, дюжинами и т. д.

Те народы, которые в древности вели счёт по пальцам одной руки, образовывали счёт пятками и пришли к пятеричной системе, в которой «шесть» выступает как «один на пять», «семь» как «два на пять» и так далее. Такая система существовала в Древнем Китае.

Те народы, которые в древности считали не только с помощью пальцев одной руки, но ещё учитывали три сустава на каждом пальце, кроме большого пальца, образовали двенадцатеричную систему. Это система принадлежала древним римлянам.

Народы древних французов вели счёт по пальцам рук и ног и образовывали двадцатеричную систему.

Древние вавилоняне вели счёт пятками и дюжинами, образовывали множества из шести десятков. Так мы получили счёт времени и измерение углов, где 60 меньших единиц образуют новую, большую одну единицу, например, в одном часе 60 минут, в одном градусе 60 минут, в одной минуте 60 секунд и т. д.

Большинство народов использовали при счёте пальцы обеих рук и таким образом пришли к десятичной системе счисления. В этой системе оказалось достаточно пятнадцати основных слов, чтобы называть все целые неотрицательные числа на практике. Это следующие названия: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять (десяток), сто (сотня), тысяча, миллион, миллиард и триллион. Другие названия числительных строятся из этих пятнадцати путем разложения чисел на десятки, сотни, тысячи и так далее. Числа один, десять и сто десятичной нумерации считаются разрядами, каждые десять единиц любого разряда образуют единицу следующего высшего разряда. Например, десять сотен единиц четвертого разряда – тысячу, десять тысяч – единицу пятого разряда, десять единиц пятого разряда – единицу шестого разряда и т. д. Такие числа называются разрядными единицами.

Упрощение названий чисел происходит путем сокращения и слияния некоторых слов, а также путем объединения каждых трёх последовательных разрядов в классы с соответствующими единицами. Все числа меньше тысячи образуют первый класс или класс простых единиц. Единицей второго класса будет тысяча, единицей третьего класса – миллион, единицей четверного класса – миллиард и т. д.

Как известно, из любого правила есть исключения. Есть исключения и из принципа сокращения названия чисел. Это касается чисел «сорок» и «девяносто».

В XI веке на Руси употребляли слова «четыредцатъ» или «четыредесят». Но эти слова имели слишком много слогов, и поэтому трудно произносились в сочетании с другими словами. Вскоре их заменили словом «сорок». До сих пор ученые спорят об этимологии этого слова. Одни связывают его происхождение с греческим названием числа 40 – «тессаконта», другие – со временем, когда на Руси платили дань «сороковинами» (ежегодная ордынская подать, равная сороковой части наличного имущества). Наиболее распространенной считается версия о том, что это слово произошло от слова «сорочка» – особый вид мешочка, куда складывали меха (по 40 штук) ценных зверьков: соболей, куниц, белок и других, чтобы их хватило на одну боярскую шубу – «сорочку».

Слово «девятьдесятъ», состоящее из многих слогов и схожее со словом «девятьсот», заменили в 1398 году словом «девяносто».

С течением времени народы, жившие вдоль рек Тигра и Евфрата, Инда и Ганга, Нила, Хуанхэ и Янцзыцзян, перешли от примитивных обозначений чисел к более прогрессивным.

В первые века нашей эры индийцы, жившие на территории нынешней Индии, пришли к совершенной системе счисления. Этот процесс протекал долгие годы. Первоначально в письменной нумерации возникли рисунки множеств соответствующих предметов. Их называли иероглифами и использовали для записи натуральных чисел. Появление большого количества таких записей стандартных обозначений привело к необходимости их упрощения и сокращения. Такую запись индийцы называли иератической формой записи натуральных чисел.

Позднее, когда у народов появились буквенный алфавит и письменность, числа стали записывать словами – числительными. Постепенно алфавит усовершенствовался, что приводило к сокращению записи числительных слов. Например, к V веку до нашей эры в Древней Греции возникла новая алфавитная система нумерации.

Иерографическая, иератическая и буквенная системы счисления имели общий недостаток: отсутствовал принцип положения, определяющего значение знака по месту, которое он занимает. В результате начался переход к позиционному этапу в письменной системе счисления сначала в Древнем Вавилоне, затем усовершенствовался в Древней Греции и с начала II века нашей эры начал действовать в Индии.

Материальными средствами для письма в Древнем Вавилоне служили глиняные плитки, на которых невозможно было сделать большое изображение фигур. Вавилонянам пришлось придумать способ передачи всех встречающихся в практике натуральных чисел небольшим числом знаков. Для этого они стали выражать все натуральные числа в шестидесятеричной системе, по которой 60 единиц образовывали новую единицу «один шестидесяток», или «один сосс». Из 60 сосс образовывалась единица следующего высшего разряда, которая называлась «один сар» и т.д.

В такой позиционной системе были и преимущества в действиях над числами, и существенный недостаток. Так как не было общепризнанного знака для выражения отсутствия разряда, приходилось много раз повторять один и тот же знак. И только во II веке нашей эры греческие астрономы в шестидесятеричной системе вавилонян стали использовать при вычислениях знак «о», обозначающий отсутствие какого-нибудь разряда. Этот знак являлся первой буквой греческого алфавита, что означало «ничего».

Новая система нумерации, возникшая в I веке нашей эры в Индии, состояла из десяти знаков и называлась «колонка», так как до изобретения знака нуля для записи чисел чертили колонки так, чтобы получались десятичные разряды.

Привычные нам знаки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 отличаются от первоначальных первых букв соответствующих индийских числительных. Нынешняя запись цифр натуральных чисел десятью знаками-цифрами индийской десятичной системы принадлежит великому узбекскому учёному IX века Магомету, сыну Мусы из Хорезма. В своей рукописи «Альджебр альмукабала», написанной на арабском языке, так как Средняя Азия была захвачена в это время арабами, Магомет отметил, что в основу его труда положена практика вычислителей Индии.

В начале XIII века с этим трудом узбекского учёного, написанным на арабском языке, познакомились в Европе. Поэтому индийские знаки-цифры, усовершенствованные узбекским ученым Магометом, сыном Мусы, ошибочно назвали арабскими. Вероятно, это связано с тем, что в 1202 году итальянский меценат-торговец, учёный Леонардо Пизанский написал книгу «Книга вычислений» («Liber abaci»), в которой использовал переводы с арабского на итальянский.

Индийская десятичная система, усовершенствованная великим узбеком Магометом, полностью утвердилась в XV веке.

В России индийская нумерация появилась в конце XIII века, а позднее при нумерации страниц книг в начале XVII века. Окончательно всё арифметическое учение было поставлено на основу индийской десятичной позиционной системы счисления в работе «Арифметика, сиречь наука числительная, с разных диалектов на славенский язык переведеная и воедино собрана и на две книги разделена» Леонтия Филипповича Магницкого, вышедшей в 1703 году.

Таким образом, современная система счисления никакого отношения к арабам не имеет. Памятные слова благодарности мы адресуем народу Индии и узбеку Магомету, сыну Мусы, давшим миру современную позиционную десятичную систему счисления.